카드 뽑기 확률, 초기하분포로 정확하게
트레이딩 카드 게임(TCG)이나 보드게임, 제비뽑기에서 "원하는 카드가 한 장이라도 들어올 확률은 얼마일까?"는 핵심적인 질문입니다. 이 계산기는 덱 크기(N), 원하는 카드 수(K), 뽑는 장수(n)를 입력하면 초기하분포 공식으로 정확한 확률을 알려 줍니다. 동전이나 주사위처럼 매번 확률이 일정한 상황과 달리, 카드를 뽑으면 덱에서 그 카드가 빠져 남은 확률이 달라지는데, 초기하분포는 바로 이 '복원 없는' 상황을 정확히 다룹니다.
1장 이상 뽑힐 확률 공식
핵심 아이디어는 '한 장도 안 뽑힐 확률'을 먼저 구하고 전체 1에서 빼는 여사건 계산입니다. 원하는 카드를 하나도 뽑지 않으려면, n장을 모두 '원하지 않는 카드 N−K장' 안에서만 골라야 합니다. 그 경우의 수는 C(N−K, n)이고, 아무 카드나 n장 뽑는 전체 경우의 수는 C(N, n)입니다. 따라서 한 장도 안 뽑힐 확률은 C(N−K, n)/C(N, n)이고, 1장 이상 뽑힐 확률은 1 − C(N−K, n)/C(N, n)이 됩니다. 여기서 C(a, b)는 a개 중 b개를 순서 없이 고르는 조합 수입니다.
오버플로 없이 정확하게 계산하는 법
덱이 커지면 조합 수 자체가 천문학적으로 커져, 분자와 분모를 따로 계산하면 숫자가 무한대로 넘쳐 부정확해집니다. 이 도구는 조합을 직접 곱하는 대신 로그-감마(lgamma) 함수로 조합의 로그값을 구한 뒤, 비율을 로그 차이로 계산하고 마지막에 지수를 취합니다. 이렇게 하면 중간에 거대한 수가 생기지 않아, 덱 크기가 수백 장에 달해도 안정적이고 정확한 확률이 나옵니다. 입력값은 K ≤ N, n ≤ N을 만족해야 하며, n이 N−K보다 크면 원하는 카드가 반드시 한 장 이상 포함되므로 확률은 100%가 됩니다.
이 도구 활용법
- TCG 첫 손패: 덱 40장에 핵심 카드 3장, 5장 드로우 시 약 33.8%처럼 마리건 전략을 가늠해 보세요.
- 제비뽑기·복권 추첨에서 당첨 제비가 여러 개일 때 1장 이상 뽑을 확률을 빠르게 확인할 수 있습니다.
- '원하는 카드 수'나 '뽑는 장수'를 조금씩 바꿔, 카드 한 장을 더 넣었을 때 확률이 얼마나 오르는지 비교해 보세요.
이 계산은 복원하지 않고 무작위로 뽑는 공정한 셔플을 가정합니다. 결과는 이론적 확률이며 학습·참고용입니다.
자주 묻는 질문 (FAQ)
Q. 원하는 카드가 1장 이상 뽑힐 확률은 어떻게 계산하나요?
A. 1 − C(N−K, n)/C(N, n) 공식으로 구합니다. 한 장도 안 뽑힐 확률을 1에서 빼는 여사건 방식입니다.
Q. 초기하분포가 무엇인가요?
A. 복원 없이 표본을 뽑을 때 특정 종류가 몇 개 들어올지를 다루는 분포로, 카드 드로우·제비뽑기에 딱 맞습니다.
Q. TCG 게임 첫 패에 핵심 카드가 들어올 확률도 구할 수 있나요?
A. 네. 40장 덱·핵심 3장·5장 드로우면 약 33.8%처럼, 덱 크기·원하는 수·뽑는 장수만 넣으면 됩니다.
Q. 조합 수가 매우 커도 정확하게 계산되나요?
A. 네. 로그-감마 기반으로 비율을 계산해 오버플로 없이 수백 장 덱도 안정적으로 처리합니다.