동전 연속 확률, 점화식으로 정확하게
"동전을 열 번 던지면 앞면이 세 번 연속 나올까?", "스무 번 던질 때 다섯 연속이 나올 확률은?" 같은 질문은 의외로 직관이 잘 빗나가는 영역입니다. 한 번 더 던질 때마다 새로운 시작점이 생기기 때문에, 단순히 (1/2)을 거듭제곱하는 식으로는 정확한 값을 구할 수 없습니다. 이 계산기는 던질 횟수·연속 길이·앞면 확률을 입력하면, 동적계획법 점화식으로 '목표 길이 이상 연속이 전체 시행 중 한 번이라도 나올 확률'을 정확하게 계산해 줍니다.
왜 단순 거듭제곱이 틀릴까
공정한 동전에서 앞면이 정확히 세 번 연속 나올 확률은 (1/2)³ = 1/8입니다. 하지만 이는 '어느 특정 위치에서 세 연속이 시작될 확률'일 뿐입니다. 열 번을 던지면 1~3번째, 2~4번째, 3~5번째처럼 세 연속이 시작될 수 있는 위치가 여러 개 겹칩니다. 이 위치들은 서로 독립이 아니어서 단순히 더하거나 곱할 수 없습니다. 그래서 '한 번이라도' 형태의 연속 확률은 겹침을 정확히 처리하는 별도의 계산이 필요합니다.
동적계획법 점화식의 원리
이 도구는 매 던지기 이후 상태를 '아직 목표 연속이 한 번도 안 나왔고, 지금 막 이어진 앞면 연속 길이가 j(0 ≤ j ≤ 목표−1)일 확률'로 정의합니다. 거기에 한 번 목표에 도달하면 더는 빠져나오지 않는 '성공(흡수) 상태'를 둡니다. 던지기를 한 번 진행할 때마다, 앞면이 나오면(확률 p) 연속 길이가 1 늘고 목표에 닿으면 성공 상태로 흡수되며, 뒷면이 나오면(확률 1−p) 연속 길이가 0으로 초기화됩니다. 이 갱신을 던질 횟수만큼 반복한 뒤 성공 상태의 확률을 읽으면, 그것이 곧 '목표 길이 이상 연속이 한 번이라도 나올 확률'입니다. 상태 수가 목표 길이에 비례하고 던지기마다 갱신하므로 던질 횟수가 수천 번이어도 빠르게 정확히 계산됩니다.
이 도구 활용법
- 앞면 확률을 0.5가 아닌 값으로 바꿔, 성공률이 일정한 반복 시행(베르누이 시행)의 연속 성공 확률을 구해 보세요.
- 던질 횟수를 늘리면 같은 연속 길이라도 한 번쯤은 나올 확률이 점점 1에 가까워지는 것을 볼 수 있습니다.
- 연속 길이가 던질 횟수보다 크면 확률은 0입니다.
모든 던지기는 서로 독립이며 앞면 확률이 일정하다고 가정합니다. 결과는 이론적 확률로 학습·참고용입니다.
자주 묻는 질문 (FAQ)
Q. 동전을 10번 던져 앞면이 3번 연속 나올 확률은?
A. 공정한 동전이면 3연속 이상이 한 번이라도 나올 확률은 약 50.8%입니다. 점화식으로 모든 순서를 빠짐없이 계산한 값입니다.
Q. 연속 확률은 어떻게 계산하나요?
A. 현재 연속 길이별 확률을 상태로 두고, 앞면은 길이 +1(목표 도달 시 성공 흡수), 뒷면은 0으로 초기화하며 갱신하는 동적계획법을 씁니다.
Q. 앞면 확률을 0.5가 아닌 값으로도 계산할 수 있나요?
A. 네. 0~1 사이 어떤 값이든 가능해 성공률이 일정한 반복 시행의 연속 성공 확률에도 그대로 적용됩니다.
Q. 왜 단순히 (1/2)^연속 으로 계산하면 안 되나요?
A. (1/2)^k는 특정 위치에서 시작될 확률일 뿐, 전체에서 한 번이라도 나올 확률이 아닙니다. 시작 위치가 겹쳐 단순 곱·합이 틀립니다.