몬티홀 문제, 직접 돌려보며 이해하기
몬티홀 문제는 확률을 공부하는 사람이라면 한 번쯤 마주치는 유명한 역설입니다. 미국 TV 게임쇼 진행자 몬티 홀의 이름에서 따왔는데, 규칙은 간단합니다. 닫힌 문이 세 개 있고 그중 하나 뒤에는 자동차가, 나머지 두 개 뒤에는 꽝(염소)이 있습니다. 참가자가 문 하나를 고르면, 정답을 아는 사회자가 남은 두 문 중 '꽝'인 문 하나를 열어 보여 줍니다. 그리고 묻습니다. "지금 선택을 바꾸시겠습니까?" 이때 바꾸는 것이 유리할까요, 그대로 두는 것이 유리할까요? 정답은 바꾸는 쪽이 두 배 유리하다는 것입니다.
왜 바꾸면 승률이 2/3인가
많은 사람이 "문이 두 개 남았으니 50:50 아니냐"고 생각하지만 이는 틀린 직관입니다. 핵심은 사회자가 무작위로 문을 여는 게 아니라, 반드시 '내가 고르지 않은 문 중 꽝'을 골라 연다는 점입니다. 처음 내가 고른 문이 당첨일 확률은 1/3, 꽝일 확률은 2/3입니다. 내가 처음에 꽝을 골랐다면(확률 2/3) 사회자가 남은 꽝을 열어 주므로, 바꾸면 무조건 자동차입니다. 따라서 바꾸기의 당첨 확률은 정확히 2/3, 안 바꾸기는 1/3이 됩니다. 사회자의 '정보 제공' 행동이 두 문을 대등하지 않게 만드는 것이 이 문제의 본질입니다.
몬테카를로 시뮬레이션의 원리
이 도구는 수식 대신 실제로 게임을 아주 여러 번 돌려서 승률을 보여 줍니다. 매 시행마다 자동차 위치(1~3)와 참가자의 첫 선택(1~3)을 Math.random()으로 무작위 결정하고, 사회자가 열 꽝 문을 정한 뒤, '안 바꾸기'와 '바꾸기' 두 전략이 각각 당첨됐는지를 셉니다. 이렇게 모은 당첨 횟수를 시도 횟수로 나누면 실제 승률이 나옵니다. 시도 횟수가 1만, 10만으로 커질수록 큰 수의 법칙에 따라 추정 승률이 이론값 66.7%와 33.3%에 점점 수렴하는 것을 직접 확인할 수 있습니다. 적은 횟수에서는 우연히 값이 흔들릴 수 있으니, 이론값과 비교하려면 1만 회 이상을 추천합니다.
이 도구 활용법
- 시도 횟수를 100, 1000, 10000, 100000으로 바꿔 가며 승률이 이론값에 수렴하는 과정을 관찰해 보세요.
- '바꾸기'와 '안바꾸기' 승률의 합이 항상 100%인 이유를 생각해 보면 게임 구조를 더 잘 이해할 수 있습니다.
- 확률·통계 수업이나 직관 깨기 자료로 활용하기 좋습니다.
시뮬레이션 결과는 난수에 기반하므로 실행할 때마다 소수점 단위로 값이 달라질 수 있으며, 이는 정상입니다. 결과는 학습·참고용입니다.
자주 묻는 질문 (FAQ)
Q. 몬티홀 문제에서 선택을 바꾸면 정말 유리한가요?
A. 네. 바꾸면 2/3(약 66.7%), 안 바꾸면 1/3(약 33.3%)입니다. 사회자가 꽝 문을 열어 정보를 주기 때문에 처음 틀렸을 확률 2/3가 바꾸기의 당첨 확률이 됩니다.
Q. 왜 바꾸기 승률이 1/2이 아니라 2/3인가요?
A. 사회자가 항상 '내가 안 고른 꽝 문'을 열기 때문에 남은 두 문은 대등하지 않습니다. 처음 꽝을 골랐을 확률 2/3에서 바꾸면 무조건 당첨이라 2/3가 됩니다.
Q. 몬테카를로 시뮬레이션이 무엇인가요?
A. 난수로 같은 실험을 여러 번 반복해 비율로 확률을 추정하는 방법입니다. 시도 횟수가 많을수록 이론값에 가까워집니다.
Q. 문이 더 많으면 확률은 어떻게 되나요?
A. 문이 N개면 안 바꾸기 1/N, 바꾸기 (N-1)/N입니다. 문이 많아질수록 바꾸는 전략이 더 유리해집니다. 이 도구는 표준 3개 문 기준입니다.