켈리 공식이란?
켈리 공식(Kelly criterion)은 1956년 벨 연구소의 존 켈리(John L. Kelly Jr.)가 제안한, 반복 베팅 상황에서 장기 자산 성장률을 최대로 만드는 베팅 비중을 구하는 수식입니다. 핵심 아이디어는 단순합니다. 우위(edge)가 있을 때만, 그리고 우위와 배당에 비례하는 만큼만 자금을 거는 것입니다. 우위가 없으면 0%, 즉 베팅하지 않는 것이 최적입니다. 도박뿐 아니라 투자 포지션 규모 결정에서도 널리 인용됩니다.
공식 유도 f = (bp − q)/b
변수를 정의하면, b는 순배당(소수 배당 − 1, 1단위를 걸었을 때 이기면 받는 순이익), p는 이길 확률(0~1), q = 1 − p는 질 확률입니다. 켈리 비중은 다음과 같습니다.
f* = (b · p − q) / b
분자 (bp − q)는 한 단위 베팅의 기대값(EV)과 같습니다. 즉 기대값이 양수일 때만 f*가 양수가 되어 베팅이 의미를 가집니다. 예를 들어 배당 2.00(b = 1), 승률 55%(p = 0.55, q = 0.45)라면 f* = (1×0.55 − 0.45)/1 = 0.10, 즉 자금의 10%를 거는 것이 켈리의 권장입니다. 만약 f*가 0 이하라면 우위가 없다는 뜻이므로 켈리는 베팅하지 않음(0%)을 권합니다.
왜 풀 켈리는 위험한가?
풀 켈리는 수학적으로 성장률을 최대화하지만, 그 대가로 극심한 변동성을 동반합니다. 풀 켈리로 베팅하면 자산이 절반으로 줄어드는 큰 하락(drawdown)을 겪을 확률이 상당히 높습니다. 더 큰 문제는 입력값의 불확실성입니다. 켈리는 p와 b를 정확히 안다고 가정하지만, 현실에서 우리는 승률을 거의 항상 과대평가합니다. 승률을 조금만 높게 잡아도 켈리 비중은 과도하게 커지고, 실제로는 마이너스 우위인데 베팅하게 되는 일도 흔합니다. 그래서 추정 오차를 흡수하기 위해 비중을 줄이는 것이 현명합니다.
하프 켈리 실무
실무에서 많은 전문가가 하프 켈리(f*/2)를 기본으로 사용합니다. 하프 켈리는 풀 켈리 대비 장기 성장률의 약 75%를 유지하면서 변동성은 절반으로 줄여, 위험 대비 효율이 훨씬 좋습니다. 더 보수적인 사람은 쿼터 켈리(f*/4)를 씁니다. 이 계산기는 풀·하프·쿼터 켈리를 함께 보여주므로 본인의 위험 감내 수준에 맞춰 선택할 수 있습니다. 어떤 경우든 한 번의 베팅에 자금의 큰 비중을 거는 것은 피하는 것이 좋습니다.
자주 묻는 질문 (FAQ)
Q. 켈리 비중이 음수로 나오면 어떻게 하나요?
A. 음수는 기대값이 마이너스, 즉 우위가 없다는 뜻입니다. 켈리는 0%(베팅하지 않음)를 권장합니다. 반대편에 걸 수 있다면 그쪽이 우위일 수 있습니다.
Q. 하프 켈리와 풀 켈리, 무엇을 써야 하나요?
A. 승률 추정에 자신이 없거나 변동성이 부담스럽다면 하프 켈리 또는 쿼터 켈리를 권합니다. 풀 켈리는 입력값이 정확하다는 강한 가정 위에서만 의미가 있습니다.
Q. 기대값(EV)은 무엇을 의미하나요?
A. 1단위를 걸었을 때 평균적으로 기대되는 순손익(p·b − q)입니다. EV가 양수여야 켈리 비중도 양수가 되어 베팅 가치가 생깁니다.